拉格朗日插值学习笔记

用于在已知点值的情况下求出过这几个点的多项式。

拉格朗日插值用于在已知点值的情况下求出过这几个点的多项式。

已知 $n$ 次多项式 $P(x)$ 在 $n+1$ 个点的值 $P(x_0),P(x_1),\cdots,P(x_n)$ ，则有：

$$P(x)=\sum_{i=0}^nP(x_i)\prod_{0\leq j\leq n,j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

考虑对其证明。对于下式：

$$P(x_k)=\sum_{i=0}^nP(x_i)\prod_{0\leq j\leq n,j\neq i}\frac{x_k-x_j}{x_i-x_j}$$

不难看出当 $i\neq k$ 时，存在一个 $j\neq i$ 满足 $j=k$ 从而使后面的值为 $0$ 。

当 $i=k$ 时，后面的值为 $1$。所以等号右边为 $P(x_k)$ 。

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